在中国的传统习俗中，选择一个黄道吉日进行搬家是许多家庭的重要考虑因素。根据农历的黄历，结合天干地支和五行相生相克的原则，我们可以为父亲属马、母亲属鸡的家庭在2024年阳历6月份选择一个合适的搬家吉日。
我们需要了解父亲和母亲的生肖与年份的关系。父亲属马，母亲属鸡，在中国的生肖相性中，马与鸡的组合具有一定的互补性，因此在选择吉日时，可以更加注重两者的协调。
接着，我们根据农历的黄历，结合天干地支的排列，找出在2024年阳历6月份的黄道吉日。经过筛选和比对，我们发现在6月8日、6月12日和6月20日是较为适合搬家的日子。
其中，6月8日是农历的四月廿一，根据黄历的记载，这一天是“天德星”值日，适合动土、搬家等事宜。而6月12日和6月20日虽然也是黄道吉日，但具体适合的搬家时间需要根据个人八字进行进一步确定。
需要注意的是，在选择搬家吉日的还要注意避开一些不利的时间段和方位。比如，在农历的某些月份或日子中，可能会存在冲煞等不利因素，需要特别留意。在搬家时也要注意避开恶劣天气和不利的风向等自然因素。
父亲属马、母亲属鸡的家庭在2024年阳历6月份的搬家黄道吉日中，可以考虑选择6月8日这一天的“天德星”值日时段进行搬家。但具体时间还需根据个人情况进行进一步确定。在搬家前后的日子里，也需留意避开不利因素，以确保新家的和谐安宁。